Лестница Мёбиуса. Мебиуса лестница


Лестница Мёбиуса — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Два представления лестницы Мёбиуса M16{\displaystyle M_{16}}. Анимация преобразования одного вида в другой Представление лестницы Мёбиуса M16 в виде ленты Мёбиуса.

Ле́стница Мёбиуса Mn{\displaystyle M_{n}} — кубический циркулянтный граф с чётным числом вершин n{\displaystyle n}, образованный из цикла с n{\displaystyle n} вершинами путём добавления рёбер (называемых «перекладинами»), соединяющих противоположные пары вершин цикла. Назван так ввиду того, что Mn{\displaystyle M_{n}}, за исключением M6{\displaystyle M_{6}} (K3,3{\displaystyle K_{3,3}}) имеет в точности n/2{\displaystyle n/2} циклов длины 4[1], соединённых вместе общими рёбрами и образующих топологически ленту Мёбиуса.

Впервые изучены Гаем и Харари[2].

Любая лестница Мёбиуса является непланарным вершинным[en] графом. Число скрещиваний лестницы Мёбиуса равно единице, и граф может быть вложен без самопересечений в тор или проективную плоскость (то есть является тороидальным графом). Ли[3] изучил вложение этих графов в поверхности более высоких родов.

Лестницы Мёбиуса являются вершинно-транзитивными, но (за исключением M6{\displaystyle M_{6}}) не рёберно-транзитивными — каждое ребро цикла, из которого лестница образована, принадлежит единственному 4-рёберному циклу, в то время как каждая перекладина принадлежит двум таким циклам.

Если n≡2(mod4){\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}, то Mn{\displaystyle M_{n}} является двудольным. При n≡2(mod0){\displaystyle n\equiv 2{\pmod {0}}} по теореме Брукса хроматическое число Mn{\displaystyle M_{n}} равно 3. Известно[4], что лестница Мёбиуса однозначно определяется её многочленом Тутте[en].

Лестница Мёбиуса M8{\displaystyle M_{8}} имеет 392 остовных дерева. Этот граф и M6{\displaystyle M_{6}} имеют наибольшее число остовных деревьев среди кубических графов с тем же числом вершин[5][6]. Однако среди кубических графов с 10 вершинами наибольшее число остовных деревьев у графа Петерсена, который не является лестницей Мёбиуса.

Многочлены Тутте[en] лестниц Мёбиуса можно получить по простой рекуррентной формуле[7].

Граф Вагнера M8{\displaystyle M_{8}}

Лестницы Мёбиуса играют важную роль в теории миноров графа. Самым ранним результатом такого типа является теорема Вагнера[8] о том, что граф, не содержащий K5{\displaystyle K_{5}}-миноров, может быть образован с использованием сумм по клике для комбинирования планарных графов и лестницы Мёбиуса M8{\displaystyle M_{8}} (в этой связи Mn{\displaystyle M_{n}} называют графом Вагнера.

Все 3-связные почти-планарные графы[9] являются лестницами Мёбиуса или принадлежат небольшому числу других семейств, притом остальные почти-планарные графы можно получить из этих графов с помощью ряда простых операций[10].

Почти все[уточнить] графы, не содержащие куб в качестве минора, могут быть получены из лестниц Мёбиуса в результате последовательного применения простых операций[11].

В 1982 году синтезирована молекулярная структура, имеющую форму лестницы Мёбиуса[12], и с тех пор такие графы представляют интерес для химиков и химической стереографии[13], особенно в свете похожих на лестницу Мёбиуса молекул ДНК. Имея это в виду, особо изучены математические симметрии вложений лестниц Мёбиуса в R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}[14].

Лестницы Мёбиуса используются как модель сверхпроводимого кольца в экспериментах по изучению эффектов топологии проводимости при взаимодействии электронов[15][16].

Лестницы Мёбиуса используются также в информатике как часть подхода целочисленного программирования к задачам упаковки множеств и линейного упорядочивания. Некоторые конфигурации в этих задачах могут быть использованы для определения граней политопов, описывающих ослабление условий[en] линейного программирования. Эти грани называются ограничениями лестниц Мёбиуса[17][18][19][20].

  1. ↑ Максорли, 1998.
  2. ↑ Гай, Харари, 1967.
  3. ↑ Ли, 2005.
  4. ↑ Де Мье, Нуа, 2004.
  5. ↑ Якобсон, Ривин, 1999.
  6. ↑ Valdes, 1991.
  7. ↑ Бигс, Дэймрелл, Сэндс, 1972.
  8. ↑ Вагнер, 1937.
  9. ↑ Почти-планарный граф — непланарный граф, у которого любой нетривиальный минор планарен
  10. ↑ Gubser, 1996.
  11. ↑ Махарри, 2000.
  12. ↑ Вальба, Ричардс, Хальтивангер, 1982.
  13. ↑ Саймон, 1992.
  14. ↑ Флапан, 1989.
  15. ↑ Мила, Стаффорд, Каппони, 1998.
  16. ↑ Дэн, Сюй, Лю, 2002.
  17. ↑ Болоташвили, Ковалёв, Гирлич, 1999.
  18. ↑ Борндёрфер, Вайсмантель, 2000.
  19. ↑ Грётшель, Юнгер, Райнельт, 1985.
  20. ↑ Ньюмэн, Вемпала, 2001.
  • N. L. Biggs, R. M. Damerell, D. A. Sands Recursive families of graphs // Journal of Combinatorial Theory. — 1972. — Т. 12. — С. 123–131. — DOI:10.1016/0095-8956(72)90016-0.
  • G. Bolotashvili, M. Kovalev, E. Girlich New facets of the linear ordering polytope // SIAM Journal on Discrete Mathematics. — 1999. — Т. 12, вып. 3. — С. 326–336. — DOI:10.1137/S0895480196300145.
  • Ralf Borndörfer, Robert Weismantel Set packing relaxations of some integer programs // Mathematical Programming. — 2000. — Т. 88, вып. 3. — С. 425–450. — DOI:10.1007/PL00011381.
  • Wen-Ji Deng, Ji-Huan Xu, Ping Liu Period halving of persistent currents in mesoscopic Möbius ladders // Chinese Physics Letters. — 2002. — Т. 19, вып. 7. — С. 988–991. — DOI:10.1088/0256-307X/19/7/333. — arXiv:cond-mat/0209421.
  • Erica Flapan Symmetries of Möbius ladders // Mathematische Annalen. — 1989. — Т. 283, вып. 2. — С. 271–283. — DOI:10.1007/BF01446435.
  • M. Grötschel, M. Jünger, G. Reinelt On the acyclic subgraph polytope // Mathematical Programming. — 1985. — Т. 33. — С. 28–42. — DOI:10.1007/BF01582009.
  • M. Grötschel, M. Jünger, G. Reinelt Facets of the linear ordering polytope // Mathematical Programming. — 1985. — Т. 33. — С. 43–60. — DOI:10.1007/BF01582010.
  • Bradley S. Gubser A characterization of almost-planar graphs // Combinatorics, Probability and Computing. — 1996. — Т. 5, вып. 3. — С. 227–245. — DOI:10.1017/S0963548300002005.
  • Richard K. Guy, Frank Harary On the Möbius ladders // Canadian Mathematical Bulletin. — 1967. — Т. 10. — С. 493–496. — DOI:10.4153/CMB-1967-046-4.
  • Dmitry Jakobson, Igor Rivin On some extremal problems in graph theory. — 1999. — arXiv:math.CO/9907050.
  • De-ming Li Genus distributions of Möbius ladders // Northeastern Mathematics Journal. — 2005. — Т. 21, вып. 1. — С. 70–80.
  • John Maharry A characterization of graphs with no cube minor // Journal of Combinatorial Theory. — 2000. — Т. 80, вып. 2. — С. 179–201. — DOI:10.1006/jctb.2000.1968.
  • John P. McSorley Counting structures in the Möbius ladder // Discrete Mathematics. — 1998. — Т. 184, вып. 1–3. — С. 137–164. — DOI:10.1016/S0012-365X(97)00086-1.
  • Anna De Mier, Marc Noy On graphs determined by their Tutte polynomials // Graphs and Combinatorics. — 2004. — Т. 20, вып. 1. — С. 105–119. — DOI:10.1007/s00373-003-0534-z.
  • Frédéric Mila, C. A. Stafford, Sylvain Capponi Persistent currents in a Möbius ladder: A test of interchain coherence of interacting electrons // Physical Review B. — 1998. — Т. 57, вып. 3. — С. 1457–1460. — DOI:10.1103/PhysRevB.57.1457.
  • Alantha Newman, Santosh Vempala. Integer Programming and Combinatorial Optimization: 8th International IPCO Conference, Utrecht, The Netherlands, June 13–15, 2001, Proceedings. — Berlin: Springer-Verlag, 2001. — Т. 2081. — С. 333–347. — (Lecture Notes in Computer Science). — DOI:10.1007/3-540-45535-3_26.
  • Jonathan Simon. New scientific applications of geometry and topology (Baltimore, MD, 1992). — Providence, RI: American Mathematical Society, 1992. — Т. 45. — С. 97–130. — (Proceedings of Symposia in Applied Mathematics).
  • L. Valdes. Proceedings of the Twenty-second Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing (Baton Rouge, LA, 1991). — 1991. — Т. 85. — С. 143–160. — (Congressus Numerantium).
  • K. Wagner Über eine Eigenschaft der ebenen Komplexe // Mathematische Annalen. — 1937. — Т. 114. — С. 570–590. — DOI:10.1007/BF01594196.
  • D. Walba, R. Richards, R. C. Haltiwanger Total synthesis of the first molecular Möbius strip // Journal of the American Chemical Society. — 1982. — Т. 104, вып. 11. — С. 3219–3221. — DOI:10.1021/ja00375a051.

ru.bywiki.com

Лестница Мёбиуса — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Два представления лестницы Мёбиуса M16{\displaystyle M_{16}}. Анимация преобразования одного вида в другой Представление лестницы Мёбиуса M16 в виде ленты Мёбиуса.

Ле́стница Мёбиуса Mn{\displaystyle M_{n}} — кубический циркулянтный граф с чётным числом вершин n{\displaystyle n}, образованный из цикла с n{\displaystyle n} вершинами путём добавления рёбер (называемых «перекладинами»), соединяющих противоположные пары вершин цикла. Назван так ввиду того, что Mn{\displaystyle M_{n}}, за исключением M6{\displaystyle M_{6}} (K3,3{\displaystyle K_{3,3}}) имеет в точности n/2{\displaystyle n/2} циклов длины 4[1], соединённых вместе общими рёбрами и образующих топологически ленту Мёбиуса.

Впервые изучены Гаем и Харари[2].

Любая лестница Мёбиуса является непланарным вершинным[en] графом. Число скрещиваний лестницы Мёбиуса равно единице, и граф может быть вложен без самопересечений в тор или проективную плоскость (то есть является тороидальным графом). Ли[3] изучил вложение этих графов в поверхности более высоких родов.

Лестницы Мёбиуса являются вершинно-транзитивными, но (за исключением M6{\displaystyle M_{6}}) не рёберно-транзитивными — каждое ребро цикла, из которого лестница образована, принадлежит единственному 4-рёберному циклу, в то время как каждая перекладина принадлежит двум таким циклам.

Если n≡2(mod4){\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}, то Mn{\displaystyle M_{n}} является двудольным. При n≡2(mod0){\displaystyle n\equiv 2{\pmod {0}}} по теореме Брукса хроматическое число Mn{\displaystyle M_{n}} равно 3. Известно[4], что лестница Мёбиуса однозначно определяется её многочленом Тутте[en].

Лестница Мёбиуса M8{\displaystyle M_{8}} имеет 392 остовных дерева. Этот граф и M6{\displaystyle M_{6}} имеют наибольшее число остовных деревьев среди кубических графов с тем же числом вершин[5][6]. Однако среди кубических графов с 10 вершинами наибольшее число остовных деревьев у графа Петерсена, который не является лестницей Мёбиуса.

Многочлены Тутте[en] лестниц Мёбиуса можно получить по простой рекуррентной формуле[7].

Граф Вагнера M8{\displaystyle M_{8}}

Лестницы Мёбиуса играют важную роль в теории миноров графа. Самым ранним результатом такого типа является теорема Вагнера[8] о том, что граф, не содержащий K5{\displaystyle K_{5}}-миноров, может быть образован с использованием сумм по клике для комбинирования планарных графов и лестницы Мёбиуса M8{\displaystyle M_{8}} (в этой связи Mn{\displaystyle M_{n}} называют графом Вагнера.

Все 3-связные почти-планарные графы[9] являются лестницами Мёбиуса или принадлежат небольшому числу других семейств, притом остальные почти-планарные графы можно получить из этих графов с помощью ряда простых операций[10].

Почти все[уточнить] графы, не содержащие куб в качестве минора, могут быть получены из лестниц Мёбиуса в результате последовательного применения простых операций[11].

В 1982 году синтезирована молекулярная структура, имеющую форму лестницы Мёбиуса[12], и с тех пор такие графы представляют интерес для химиков и химической стереографии[13], особенно в свете похожих на лестницу Мёбиуса молекул ДНК. Имея это в виду, особо изучены математические симметрии вложений лестниц Мёбиуса в R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}[14].

Лестницы Мёбиуса используются как модель сверхпроводимого кольца в экспериментах по изучению эффектов топологии проводимости при взаимодействии электронов[15][16].

Лестницы Мёбиуса используются также в информатике как часть подхода целочисленного программирования к задачам упаковки множеств и линейного упорядочивания. Некоторые конфигурации в этих задачах могут быть использованы для определения граней политопов, описывающих ослабление условий[en] линейного программирования. Эти грани называются ограничениями лестниц Мёбиуса[17][18][19][20].

  1. ↑ Максорли, 1998.
  2. ↑ Гай, Харари, 1967.
  3. ↑ Ли, 2005.
  4. ↑ Де Мье, Нуа, 2004.
  5. ↑ Якобсон, Ривин, 1999.
  6. ↑ Valdes, 1991.
  7. ↑ Бигс, Дэймрелл, Сэндс, 1972.
  8. ↑ Вагнер, 1937.
  9. ↑ Почти-планарный граф — непланарный граф, у которого любой нетривиальный минор планарен
  10. ↑ Gubser, 1996.
  11. ↑ Махарри, 2000.
  12. ↑ Вальба, Ричардс, Хальтивангер, 1982.
  13. ↑ Саймон, 1992.
  14. ↑ Флапан, 1989.
  15. ↑ Мила, Стаффорд, Каппони, 1998.
  16. ↑ Дэн, Сюй, Лю, 2002.
  17. ↑ Болоташвили, Ковалёв, Гирлич, 1999.
  18. ↑ Борндёрфер, Вайсмантель, 2000.
  19. ↑ Грётшель, Юнгер, Райнельт, 1985.
  20. ↑ Ньюмэн, Вемпала, 2001.
  • N. L. Biggs, R. M. Damerell, D. A. Sands Recursive families of graphs // Journal of Combinatorial Theory. — 1972. — Т. 12. — С. 123–131. — DOI:10.1016/0095-8956(72)90016-0.
  • G. Bolotashvili, M. Kovalev, E. Girlich New facets of the linear ordering polytope // SIAM Journal on Discrete Mathematics. — 1999. — Т. 12, вып. 3. — С. 326–336. — DOI:10.1137/S0895480196300145.
  • Ralf Borndörfer, Robert Weismantel Set packing relaxations of some integer programs // Mathematical Programming. — 2000. — Т. 88, вып. 3. — С. 425–450. — DOI:10.1007/PL00011381.
  • Wen-Ji Deng, Ji-Huan Xu, Ping Liu Period halving of persistent currents in mesoscopic Möbius ladders // Chinese Physics Letters. — 2002. — Т. 19, вып. 7. — С. 988–991. — DOI:10.1088/0256-307X/19/7/333. — arXiv:cond-mat/0209421.
  • Erica Flapan Symmetries of Möbius ladders // Mathematische Annalen. — 1989. — Т. 283, вып. 2. — С. 271–283. — DOI:10.1007/BF01446435.
  • M. Grötschel, M. Jünger, G. Reinelt On the acyclic subgraph polytope // Mathematical Programming. — 1985. — Т. 33. — С. 28–42. — DOI:10.1007/BF01582009.
  • M. Grötschel, M. Jünger, G. Reinelt Facets of the linear ordering polytope // Mathematical Programming. — 1985. — Т. 33. — С. 43–60. — DOI:10.1007/BF01582010.
  • Bradley S. Gubser A characterization of almost-planar graphs // Combinatorics, Probability and Computing. — 1996. — Т. 5, вып. 3. — С. 227–245. — DOI:10.1017/S0963548300002005.
  • Richard K. Guy, Frank Harary On the Möbius ladders // Canadian Mathematical Bulletin. — 1967. — Т. 10. — С. 493–496. — DOI:10.4153/CMB-1967-046-4.
  • Dmitry Jakobson, Igor Rivin On some extremal problems in graph theory. — 1999. — arXiv:math.CO/9907050.
  • De-ming Li Genus distributions of Möbius ladders // Northeastern Mathematics Journal. — 2005. — Т. 21, вып. 1. — С. 70–80.
  • John Maharry A characterization of graphs with no cube minor // Journal of Combinatorial Theory. — 2000. — Т. 80, вып. 2. — С. 179–201. — DOI:10.1006/jctb.2000.1968.
  • John P. McSorley Counting structures in the Möbius ladder // Discrete Mathematics. — 1998. — Т. 184, вып. 1–3. — С. 137–164. — DOI:10.1016/S0012-365X(97)00086-1.
  • Anna De Mier, Marc Noy On graphs determined by their Tutte polynomials // Graphs and Combinatorics. — 2004. — Т. 20, вып. 1. — С. 105–119. — DOI:10.1007/s00373-003-0534-z.
  • Frédéric Mila, C. A. Stafford, Sylvain Capponi Persistent currents in a Möbius ladder: A test of interchain coherence of interacting electrons // Physical Review B. — 1998. — Т. 57, вып. 3. — С. 1457–1460. — DOI:10.1103/PhysRevB.57.1457.
  • Alantha Newman, Santosh Vempala. Integer Programming and Combinatorial Optimization: 8th International IPCO Conference, Utrecht, The Netherlands, June 13–15, 2001, Proceedings. — Berlin: Springer-Verlag, 2001. — Т. 2081. — С. 333–347. — (Lecture Notes in Computer Science). — DOI:10.1007/3-540-45535-3_26.
  • Jonathan Simon. New scientific applications of geometry and topology (Baltimore, MD, 1992). — Providence, RI: American Mathematical Society, 1992. — Т. 45. — С. 97–130. — (Proceedings of Symposia in Applied Mathematics).
  • L. Valdes. Proceedings of the Twenty-second Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing (Baton Rouge, LA, 1991). — 1991. — Т. 85. — С. 143–160. — (Congressus Numerantium).
  • K. Wagner Über eine Eigenschaft der ebenen Komplexe // Mathematische Annalen. — 1937. — Т. 114. — С. 570–590. — DOI:10.1007/BF01594196.
  • D. Walba, R. Richards, R. C. Haltiwanger Total synthesis of the first molecular Möbius strip // Journal of the American Chemical Society. — 1982. — Т. 104, вып. 11. — С. 3219–3221. — DOI:10.1021/ja00375a051.

ru.wikiyy.com

Лестница Мёбиуса — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Файл:Moebius-ladder-16.svg

Два представления лестницы Мёбиуса Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): M_{16} .

Ле́стница Мёбиуса Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): M_n  — кубический циркулянтный граф с чётным числом вершин Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): n , образованный из цикла с Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): n вершинами путём добавления рёбер (называемых «перекладинами»), соединяющих противоположные пары вершин цикла. Назван так ввиду того, что Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): M_n , за исключением Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): M_6 (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): K_{3,3} ) имеет в точности Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): n/2 циклов длины 4[1], соединённых вместе общими рёбрами и образующих топологически ленту Мёбиуса.

Впервые изучены Гаем и Харари[2].

Свойства

Любая лестница Мёбиуса является непланарным вершинным[en] графом. Число скрещиваний лестницы Мёбиуса равно единице, и граф может быть вложен без самопересечений в тор или проективную плоскость (то есть является тороидальным графом). Ли[3] изучил вложение этих графов в поверхности более высоких родов.

Лестницы Мёбиуса являются вершинно-транзитивными, но (за исключением Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): M_6 ) не рёберно-транзитивными — каждое ребро цикла, из которого лестница образована, принадлежит единственному 4-рёберному циклу, в то время как каждая перекладина принадлежит двум таким циклам.

Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): n \equiv 2 \pmod 4 , то Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): M_n является двудольным. При Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): n \equiv 2 \pmod 0 по теореме Брукса хроматическое число Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): M_n равно 3. Известно[4], что лестница Мёбиуса однозначно определяется её многочленом Тутте[en].

Лестница Мёбиуса Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): M_8 имеет 392 остовных дерева. Этот граф и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): M_6 имеют наибольшее число остовных деревьев среди кубических графов с тем же числом вершин[5][6]. Однако среди кубических графов с 10 вершинами наибольшее число остовных деревьев у графа Петерсена, который не является лестницей Мёбиуса.

Многочлены Тутте[en] лестниц Мёбиуса можно получить по простой рекуррентной формуле[7].

Миноры графа

Файл:Wagner graph ham.svg

Граф Вагнера Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): M_8

Лестницы Мёбиуса играют важную роль в теории миноров графа. Самым ранним результатом такого типа является теорема Вагнера[8] о том, что граф, не содержащий Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): K_5 -миноров, может быть образован с использованием сумм по клике для комбинирования планарных графов и лестницы Мёбиуса Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): M_8 (в этой связи Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): M_n называют графом Вагнера.

Все 3-связные почти-планарные графы[9] являются лестницами Мёбиуса или принадлежат небольшому числу других семейств, притом остальные почти-планарные графы можно получить из этих графов с помощью ряда простых операций[10].

Почти все[уточнить] графы, не содержащие куб в качестве минора, могут быть получены из лестниц Мёбиуса в результате последовательного применения простых операций[11].

Химия и физика

В 1982 году синтезирована молекулярная структура, имеющую форму лестницы Мёбиуса[12], и с тех пор такие графы представляют интерес для химиков и химической стереографии[13], особенно в свете похожих на лестницу Мёбиуса молекул ДНК. Имея это в виду, особо изучены математические симметрии вложений лестниц Мёбиуса в Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \R^3 [14].

Лестницы Мёбиуса используются как модель сверхпроводимого кольца в экспериментах по изучению эффектов топологии проводимости при взаимодействии электронов[15][16].

Комбинаторная оптимизация

Лестницы Мёбиуса используются также в информатике как часть подхода целочисленного программирования к задачам упаковки множеств и линейного упорядочивания. Некоторые конфигурации в этих задачах могут быть использованы для определения граней политопов, описывающих ослабление условий[en] линейного программирования. Эти грани называются ограничениями лестниц Мёбиуса[17][18][19][20].

См. также

Напишите отзыв о статье "Лестница Мёбиуса"

Примечания

  1. ↑ Максорли, 1998.
  2. ↑ Гай, Харари, 1967.
  3. ↑ Ли, 2005.
  4. ↑ Де Мье, Нуа, 2004.
  5. ↑ Якобсон, Ривин, 1999.
  6. ↑ Valdes, 1991.
  7. ↑ Бигс, Дэймрелл, Сэндс, 1972.
  8. ↑ Вагнер, 1937.
  9. ↑ Почти-планарный граф — непланарный граф, у которого любой нетривиальный минор планарен
  10. ↑ Gubser, 1996.
  11. ↑ Махарри, 2000.
  12. ↑ Вальба, Ричардс, Хальтивангер, 1982.
  13. ↑ Саймон, 1992.
  14. ↑ Флапан, 1989.
  15. ↑ Мила, Стаффорд, Каппони, 1998.
  16. ↑ Дэн, Сюй, Лю, 2002.
  17. ↑ Болоташвили, Ковалёв, Гирлич, 1999.
  18. ↑ Борндёрфер, Вайсмантель, 2000.
  19. ↑ Грётшель, Юнгер, Райнельт, 1985.
  20. ↑ Ньюмэн, Вемпала, 2001.

Ссылки

  • N. L. Biggs, R. M. Damerell, D. A. Sands Recursive families of graphs // Journal of Combinatorial Theory. — 1972. — Т. 12. — С. 123–131. — DOI:[//dx.doi.org/10.1016%2F0095-8956%2872%2990016-0 10.1016/0095-8956(72)90016-0].
  • G. Bolotashvili, M. Kovalev, E. Girlich New facets of the linear ordering polytope // SIAM Journal on Discrete Mathematics. — 1999. — Т. 12, вып. 3. — С. 326–336. — DOI:[//dx.doi.org/10.1137%2FS0895480196300145 10.1137/S0895480196300145].
  • Ralf Borndörfer, Robert Weismantel Set packing relaxations of some integer programs // Mathematical Programming. — 2000. — Т. 88, вып. 3. — С. 425–450. — DOI:[//dx.doi.org/10.1007%2FPL00011381 10.1007/PL00011381].
  • Wen-Ji Deng, Ji-Huan Xu, Ping Liu Period halving of persistent currents in mesoscopic Möbius ladders // Chinese Physics Letters. — 2002. — Т. 19, вып. 7. — С. 988–991. — DOI:[//dx.doi.org/10.1088%2F0256-307X%2F19%2F7%2F333 10.1088/0256-307X/19/7/333]. — arXiv:cond-mat/0209421.
  • Erica Flapan Symmetries of Möbius ladders // Mathematische Annalen. — 1989. — Т. 283, вып. 2. — С. 271–283. — DOI:[//dx.doi.org/10.1007%2FBF01446435 10.1007/BF01446435].
  • M. Grötschel, M. Jünger, G. Reinelt On the acyclic subgraph polytope // Mathematical Programming. — 1985. — Т. 33. — С. 28–42. — DOI:[//dx.doi.org/10.1007%2FBF01582009 10.1007/BF01582009].
  • M. Grötschel, M. Jünger, G. Reinelt Facets of the linear ordering polytope // Mathematical Programming. — 1985. — Т. 33. — С. 43–60. — DOI:[//dx.doi.org/10.1007%2FBF01582010 10.1007/BF01582010].
  • Bradley S. Gubser A characterization of almost-planar graphs // Combinatorics, Probability and Computing. — 1996. — Т. 5, вып. 3. — С. 227–245. — DOI:[//dx.doi.org/10.1017%2FS0963548300002005 10.1017/S0963548300002005].
  • Richard K. Guy, Frank Harary On the Möbius ladders // Canadian Mathematical Bulletin. — 1967. — Т. 10. — С. 493–496. — DOI:[//dx.doi.org/10.4153%2FCMB-1967-046-4 10.4153/CMB-1967-046-4].
  • Dmitry Jakobson, Igor Rivin On some extremal problems in graph theory. — 1999. — arXiv:math.CO/9907050.
  • De-ming Li Genus distributions of Möbius ladders // Northeastern Mathematics Journal. — 2005. — Т. 21, вып. 1. — С. 70–80.
  • John Maharry A characterization of graphs with no cube minor // Journal of Combinatorial Theory. — 2000. — Т. 80, вып. 2. — С. 179–201. — DOI:[//dx.doi.org/10.1006%2Fjctb.2000.1968 10.1006/jctb.2000.1968].
  • John P. McSorley Counting structures in the Möbius ladder // Discrete Mathematics. — 1998. — Т. 184, вып. 1–3. — С. 137–164. — DOI:[//dx.doi.org/10.1016%2FS0012-365X%2897%2900086-1 10.1016/S0012-365X(97)00086-1].
  • Anna De Mier, Marc Noy On graphs determined by their Tutte polynomials // Graphs and Combinatorics. — 2004. — Т. 20, вып. 1. — С. 105–119. — DOI:[//dx.doi.org/10.1007%2Fs00373-003-0534-z 10.1007/s00373-003-0534-z].
  • Frédéric Mila, C. A. Stafford, Sylvain Capponi Persistent currents in a Möbius ladder: A test of interchain coherence of interacting electrons // Physical Review B. — 1998. — Т. 57, вып. 3. — С. 1457–1460. — DOI:[//dx.doi.org/10.1103%2FPhysRevB.57.1457 10.1103/PhysRevB.57.1457].
  • Alantha Newman, Santosh Vempala. Integer Programming and Combinatorial Optimization: 8th International IPCO Conference, Utrecht, The Netherlands, June 13–15, 2001, Proceedings. — Berlin: Springer-Verlag, 2001. — Т. 2081. — С. 333–347. — (Lecture Notes in Computer Science). — DOI:[//dx.doi.org/10.1007%2F3-540-45535-3_26 10.1007/3-540-45535-3_26]
  • Jonathan Simon. New scientific applications of geometry and topology (Baltimore, MD, 1992). — Providence, RI: American Mathematical Society, 1992. — Т. 45. — С. 97–130. — (Proceedings of Symposia in Applied Mathematics).
  • L. Valdes. Proceedings of the Twenty-second Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing (Baton Rouge, LA, 1991). — 1991. — Т. 85. — С. 143–160. — (Congressus Numerantium).
  • K. Wagner Über eine Eigenschaft der ebenen Komplexe // Mathematische Annalen. — 1937. — Т. 114. — С. 570–590. — DOI:[//dx.doi.org/10.1007%2FBF01594196 10.1007/BF01594196].
  • D. Walba, R. Richards, R. C. Haltiwanger Total synthesis of the first molecular Möbius strip // Journal of the American Chemical Society. — 1982. — Т. 104, вып. 11. — С. 3219–3221. — DOI:[//dx.doi.org/10.1021%2Fja00375a051 10.1021/ja00375a051].

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/MoebiusLadder.html Möbius Ladder] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Отрывок, характеризующий Лестница Мёбиуса

Он чуть приподнялся, поморщившись от боли, и очень серьёзно произнёс: – Да мадонна. Я давно зову вас, но вы почему-то не слышали. Хотя находились совсем рядом. – Я помогала хорошей девочке проститься с нашим жестоким миром... – печально ответила я. – Зачем я нужна вам, ваше преосвященство? Могу ли я помочь вам?.. – Речь не обо мне, мадонна. Скажите, вашу дочь зовут Анна, не так ли? Стены комнаты закачались... Анна!!! Господи, только не Анна!.. Я схватилась за какой-то выступающий угол, чтобы не упасть. – Говорите, монсеньёр... Вы правы, мою дочь зовут Анна. Мой мир рушился, даже ещё не узнав причины случившегося... Достаточно было уже того, что Караффа упоминал о моей бедной девочке. Ожидать от этого чего-то доброго не было ни какой надежды. – Когда прошлой ночью Папа «занимался» мною в этом же подвале, человек сообщил ему, что ваша дочь покинула монастырь... И Караффа почему-то был этим очень доволен. Вот поэтому-то я и решил как-то вам сообщить эту новость. Ведь его радость, как я понял, приносит всем только несчастья? Я не ошибся, мадонна?.. – Нет... Вы правы, ваше преосвященство. Сказал ли он что-либо ещё? Даже какую-то мелочь, которая могла бы помочь мне? В надежде получить хотя бы малейшее «дополнение», спросила я. Но Мороне лишь отрицательно покачал головой... – Сожалею, мадонна. Он лишь сказал, что вы сильно ошибались, и что любовь никому ещё не приносила добра. Если это о чём-то вам говорит, Изидора. Я лишь кивнула, стараясь собрать свои разлетающиеся в панике мысли. И пытаясь не показать Мороне, насколько потрясла меня сказанная им новость, как можно спокойнее произнесла: – Разрешите ли подлечить вас, монсеньёр? Мне кажется, вам опять не помешает моя «ведьмина» помощь. И благодарю вас за весть... Даже за плохую. Всегда ведь лучше заранее знать планы врага, даже самые худшие, не так ли?.. Мороне внимательно всматривался мне в глаза, мучительно стараясь найти в них ответ на какой-то важный для него вопрос. Но моя душа закрылась от мира, чтобы не заболеть... чтобы выстоять предстоящее испытание... И кардинала встречал теперь лишь заученный «светский» взгляд, не позволявший проникнуть в мою застывшую в ужасе душу... – Неужели вы боитесь, мадонна? – тихо спросил Мороне. – Вы ведь тысячу раз сильнее его! Почему вы его боитесь?!.. – Он имеет что-то, с чем я пока не в силах бороться... И пока не в силах его убить. О, поверьте мне, ваше преосвященство, если б я только нашла ключ к этой ядовитой гадюке!.. – и, опомнившись, тут же опять предложила: – Позвольте мне всё же заняться вами? Я облегчу вашу боль. Но кардинал, с улыбкой, отказался. – Завтра я уже буду в другом, более спокойном месте. И надеюсь, Караффа обо мне на время забудет. Ну, а как же вы, мадонна? Что же станет с вами? Я не могу помочь вам из заключения, но мои друзья достаточно влиятельны. Могу ли я быть полезным вам? – Благодарю вас, монсеньёр, за вашу заботу. Но я не питаю напрасных надежд, надеясь отсюда выйти... Он никогда не отпустит меня... Ни мою бедную дочь. Я живу, чтобы его уничтожить. Ему не должно быть места среди людей. – Жаль, что я не узнал вас раньше, Изидора. Возможно, мы бы стали добрыми друзьями. А теперь прощайте. Вам нельзя здесь оставаться. Папа обязательно явится пожелать мне «удачи». Вам ни к чему с ним здесь встречаться. Сберегите вашу дочь, мадонна... И не сдавайтесь Караффе. Бог да пребудет с вами! – О каком Боге вы говорите, монсеньёр? – грустно спросила я. – Наверняка, уж не о том, которому молится Караффа!.. – улыбнулся на прощание Мороне. Я ещё мгновение постояла, стараясь запомнить в своей душе образ этого чудесного человека, и махнув на прощание рукой, вышла в коридор. Небо развёрзлось шквалом тревоги, паники и страха!.. Где находилась сейчас моя храбрая, одинокая девочка?! Что побудило её покинуть Мэтэору?.. На мои настойчивые призывы Анна почему-то не отвечала, хотя я знала, что она меня слышит. Это вселяло ещё большую тревогу, и я лишь из последних сил держалась, чтобы не поддаваться сжигавшей душу панике, так как знала – Караффа непременно воспользуется любой моей слабостью. И тогда мне придётся проиграть, ещё даже не начав сопротивляться... Уединившись в «своих» покоях, я «зализывала» старые раны, даже не надеясь, что они когда-либо заживут, а просто стараясь быть как можно сильней и спокойнее на случай любой возможности начать войну с Караффой... На чудо надеяться смысла не было, так как я прекрасно знала – в нашем случае чудес не предвиделось... Всё, что произойдёт, я должна буду сделать только сама. Бездействие убивало, заставляя чувствовать себя всеми забытой, беспомощной и ненужной... И хотя я прекрасно знала, что не права, червь «чёрного сомнения» удачно грыз воспалённый мозг, оставляя там яркий след неуверенности и сожалений... Я не жалела, что нахожусь у Караффы сама... Но панически боялась за Анну. А также, всё ещё не могла простить себе гибель отца и Джироламо, моих любимых и самых лучших для меня на свете людей... Смогу ли я отомстить за них когда-либо?.. Не правы ли все, говоря, что Караффу не победить? Что я не уничтожу его, а всего лишь глупо погибну сама?.. Неужели прав был Север, приглашая уйти в Мэтэору? И неужели надежда уничтожить Папу всё это время жила только во мне одной?!.. И ещё... Я чувствовала, что очень устала... Нечеловечески, страшно устала... Иногда даже казалось – а не лучше ли было и правда уйти в Мэтэору?.. Ведь кто-то же туда уходил?.. И почему-то их не тревожило, что вокруг умирали люди. Для них было важно УЗНАТЬ, получить сокровенное ЗНАНИЕ, так как они считали себя исключительно одарёнными... Но, с другой стороны, если они по-настоящему были такими уж «исключительными», то как же в таком случае они забыли самую простую, но по-моему очень важную нашу заповедь – не уходи на покой, пока в твоей помощи нуждаются остальные... Как же они могли так просто закрыться, даже не оглядевшись вокруг, не попытавшись помочь другим?.. Как успокоили свои души?.. Конечно же, мои «возмущённые» мысли никак не касались детей, находящихся в Мэтэоре... Эта война была не их войной, она касалась только лишь взрослых... А малышам ещё предстояло долго и упорно идти по пути познания, чтобы после уметь защищать свой дом, своих родных и всех хороших людей, живущих на нашей странной, непостижимой Земле. Нет, я думала именно о взрослых... О тех, кто считал себя слишком «особенным», чтобы рисковать своей «драгоценной» жизнью. О тех, кто предпочитал отсиживаться в Мэтэоре, внутри её толстых стен, пока Земля истекала кровью и такие же одарённые, как они, толпами шли на смерть... Я всегда любила свободу и ценила право свободного выбора каждого отдельного человека. Но бывали в жизни моменты, когда наша личная свобода не стоила миллионов жизней других хороших людей... Во всяком случае, именно так я для себя решила... И не собиралась ничего менять. Да, были минуты слабости, когда казалось, что жертва, на которую шла, будет совершенно бессмысленна и напрасна. Что она ничего не изменит в этом жестоком мире... Но потом снова возвращалось желание бороться... Тогда всё становилось на свои места, и я всем своим существом готова была возвращаться на «поле боя», несмотря даже на то, насколько неравной была война... Долгие, тяжёлые дни ползли вереницей «неизвестного», а меня всё также никто не беспокоил. Ничего не менялось, ничего не происходило. Анна молчала, не отвечая на мои позывы. И я понятия не имела, где она находилась, или где я могла её искать... И вот однажды, смертельно устав от пустого, нескончаемого ожидания, я решила наконец-то осуществить свою давнюю, печальную мечту – зная, что наверняка никогда уже не удастся по-другому увидеть мою любимую Венецию, я решилась пойти туда «дуновением», чтобы проститься... На дворе был май, и Венеция наряжалась, как юная невеста, встречая свой самый красивый праздник – праздник Любви... Любовь витала повсюду – ею был пропитан сам воздух!.. Ею дышали мосты и каналы, она проникала в каждый уголок нарядного города... в каждую фибру каждой одинокой, в нём живущей души... На один этот день Венеция превращалась в волшебный цветок любви – жгучий, пьянящий и прекрасный! Улицы города буквально «тонули» в несметном количестве алых роз, пышными «хвостами» свисавших до самой воды, нежно лаская её хрупкими алыми лепестками... Вся Венеция благоухала, источая запахи счастья и лета. И на один этот день даже самые хмурые обитатели города покидали свои дома, и во всю улыбаясь, ожидали, что может быть в этот прекрасный день даже им, грустным и одиноким, улыбнётся капризница Любовь... Праздник начинался с самого раннего утра, когда первые солнечные лучи ещё только-только начинали золотить городские каналы, осыпая их горячими поцелуями, от которых те, стеснительно вспыхивая, заливались красными стыдливыми бликами... Тут же, не давая даже хорошенько проснуться, под окнами городских красавиц уже нежно звучали первые любовные романсы... А пышно разодетые гондольеры, украсив свои начищенные гондолы в праздничный алый цвет, терпеливо ждали у пристани, каждый, надеясь усадить к себе самую яркую красавицу этого чудесного, волшебного дня.

o-ili-v.ru

Лестница Мёбиуса / Скомканные салфетки / Берман Евгений

Лестница Мёбиуса

— И что, он у тебя вот так и лазает на всё подряд?

— Ой, не говори… замучилась, сил никаких нет. Только отвернёшься, а он уже на дереве или, хуже того, на козырьке подъезда. Про пожарные лестницы уже молчу. Последний раз вообще спасателей вызвала — думала, сам не слезет. Так пока они ехали, он, мерзавец, не только слезть успел, но и на соседнее дерево забраться, чтоб я его ремнём не достала. Мне чуть штраф не вкатали за ложный вызов…

— А ты его в секцию скалолазания отдать не пробовала?

— Да пробовала, конечно. Выгнали через две недели. Сказали, очень способный парень, но никакого понятия о дисциплине. Весь в отца, зараза малая.

— Слушай… а приведи-ка его на выходные в «Тарзан».

— Это что ещё?

— Не слышала? Детский центр, недавно открылся. Лианы, верёвочные лестницы, батуты и всё такое. Я свою младшую сводила, так теперь она каждое воскресенье просится. И хулиганить меньше стала, знает же, чуть что не так — «Тарзана» ей не видать. Может и твой, как налазится, поспокойнее станет.

***

Пашка ловко съехал по канату, при этом заехав ногой по макушке какой-то малявке, что крутилась внизу. Девчонка с плачем убежала. Ничего, пускай не путается под ногами. А «Тарзан» этот — ерунда для детского сада. Уже всё по нескольку раз облазил — скукотища…

— Что ж ты маленьких обижаешь, герой? — широкоплечий парень в униформе держал всхлипывающую девочку за руку.

— Я не нарочно. А чего она сама болтается где не надо? И вообще — скучно тут у вас. На скалолазке и то интереснее было.

— На скалолазке, говоришь? Есть тут у нас одна штука, для ребят постарше. Если твоя мама согласие подпишет, конечно…

Удивительно, но мама согласилась сразу. Только как-то странно на него посмотрела. Парень провёл его в другое помещение, и перед глазами Пашки возникла широкая изогнутая пластиковая труба, оба конца которой уходили за перегородку.

— Вот, смотри, — парень открыл люк, и Пашка увидел широченную гнутую доску с разбросанными по ней там-сям «зацепками», как на скалолазных стендах. Доска, змеясь, уходила по трубе куда-то вдаль.

— Пологая какая-то, — разочарованно протянул Пашка.

— Ты давай, лезь, орёл. Там внутри всё есть — и отвесные стены, и даже отрицательный уклон. Как на твоей скалолазке, только круче. А вздумаешь падать — дальше трубы не улетишь, — и парень закрыл за Пашкой люк.

Сначала лезть было очень легко, но потом уклон доски начал постепенно меняться, подъёмы чередовались со спусками, а спуск опять сменялся подъёмом. В одном месте Пашка чуть было не сорвался, но в последний момент удержался, поставив ноги в распор между двумя зацепками. А у них тут ничего, оказывается… интересно, что там в конце?

… Конца не было. Всё новые и новые подъёмы, спуски, повороты, извивы… Сил почти не осталось, в висках стучало, ладони сделались скользкими. На очередном спуске по «отрицалке» рука соскочила с зацепки, и он грохнулся спиной вниз на трубу, неловко подвернув ногу. Попытался опереться на неё — и взвыл от боли в лодыжке.

— Помоги-ите! — закричал он. — Достаньте меня отсюда!

Никто не ответил. К своему ужасу, Пашка понял, что и голоса детей из-за перегородки больше не слышны. Наверное, тут уже всё закрыто, а его бросили. И мама, видимо, давно ушла домой. А ему лежать тут всю ночь на холодном пластике, со сломанной ногой…

Тишина. И тут откуда-то снизу раздался скрежет, громкий и пугающий. А потом из сумрака прямо на мальчика безмолвно уставились два горящих глаза. Этого Пашка выдержать уже не смог и громко заорал что было силы.

— Ну что, жив, герой? Спускай его в люк, Витя, аккуратно только. — тот самый парень в форме, с фонариком в руке, принял его на руки и уложил на что-то мягкое. — Давай, ногу посмотрю. Ничего, обычное растяжение — заживёт до свадьбы. Сейчас эластичный бинт наложу. А ты молодец. «Лестницу Мёбиуса» даже из наших, клубовских, не все пролезают по полному кругу. Погоди-ка…

Парень достал из кармана значок и приколол к Пашкиной майке. Опустив глаза, Пашка увидел изображение горной вершины в снегу и надпись: «Клуб альпинистов и скалолазов «Вертикаль»». И улыбнулся, заметив стоящую в дверях маму.

 

writercenter.ru

Лестница Мёбиуса — Туркмения ВиКи

Свойства

Миноры графа

Химия и физика

В 1982 году синтезирована молекулярная структура, имеющую форму лестницы Мёбиуса[12], и с тех пор такие графы представляют интерес для химиков и химической стереографии[13], особенно в свете похожих на лестницу Мёбиуса молекул ДНК. Имея это в виду, особо изучены математические симметрии вложений лестниц Мёбиуса в R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} [14].

Лестницы Мёбиуса используются как модель сверхпроводимого кольца в экспериментах по изучению эффектов топологии проводимости при взаимодействии электронов[15][16].

Комбинаторная оптимизация

См. также

Примечания

  1. ↑ Максорли, 1998.
  2. ↑ Гай, Харари, 1967.
  3. ↑ Ли, 2005.
  4. ↑ Де Мье, Нуа, 2004.
  5. ↑ Якобсон, Ривин, 1999.
  6. ↑ Valdes, 1991.
  7. ↑ Бигс, Дэймрелл, Сэндс, 1972.
  8. ↑ Вагнер, 1937.
  9. ↑ Почти-планарный граф — непланарный граф, у которого любой нетривиальный минор планарен
  10. ↑ Gubser, 1996.
  11. ↑ Махарри, 2000.
  12. ↑ Вальба, Ричардс, Хальтивангер, 1982.
  13. ↑ Саймон, 1992.
  14. ↑ Флапан, 1989.
  15. ↑ Мила, Стаффорд, Каппони, 1998.
  16. ↑ Дэн, Сюй, Лю, 2002.
  17. ↑ Болоташвили, Ковалёв, Гирлич, 1999.
  18. ↑ Борндёрфер, Вайсмантель, 2000.
  19. ↑ Грётшель, Юнгер, Райнельт, 1985.
  20. ↑ Ньюмэн, Вемпала, 2001.

Литература

  • N. L. Biggs, R. M. Damerell, D. A. Sands Recursive families of graphs // Journal of Combinatorial Theory. — 1972. — Т. 12. — С. 123–131. — DOI:10.1016/0095-8956(72)90016-0.
  • G. Bolotashvili, M. Kovalev, E. Girlich New facets of the linear ordering polytope // SIAM Journal on Discrete Mathematics. — 1999. — Т. 12, вып. 3. — С. 326–336. — DOI:10.1137/S0895480196300145.
  • Ralf Borndörfer, Robert Weismantel Set packing relaxations of some integer programs // Mathematical Programming. — 2000. — Т. 88, вып. 3. — С. 425–450. — DOI:10.1007/PL00011381.
  • Wen-Ji Deng, Ji-Huan Xu, Ping Liu Period halving of persistent currents in mesoscopic Möbius ladders // Chinese Physics Letters. — 2002. — Т. 19, вып. 7. — С. 988–991. — DOI:10.1088/0256-307X/19/7/333. — arXiv:cond-mat/0209421.
  • Erica Flapan Symmetries of Möbius ladders // Mathematische Annalen. — 1989. — Т. 283, вып. 2. — С. 271–283. — DOI:10.1007/BF01446435.
  • M. Grötschel, M. Jünger, G. Reinelt On the acyclic subgraph polytope // Mathematical Programming. — 1985. — Т. 33. — С. 28–42. — DOI:10.1007/BF01582009.
  • M. Grötschel, M. Jünger, G. Reinelt Facets of the linear ordering polytope // Mathematical Programming. — 1985. — Т. 33. — С. 43–60. — DOI:10.1007/BF01582010.
  • Bradley S. Gubser A characterization of almost-planar graphs // Combinatorics, Probability and Computing. — 1996. — Т. 5, вып. 3. — С. 227–245. — DOI:10.1017/S0963548300002005.
  • Richard K. Guy, Frank Harary On the Möbius ladders // Canadian Mathematical Bulletin. — 1967. — Т. 10. — С. 493–496. — DOI:10.4153/CMB-1967-046-4.
  • Dmitry Jakobson, Igor Rivin On some extremal problems in graph theory. — 1999. — arXiv:math.CO/9907050.
  • De-ming Li Genus distributions of Möbius ladders // Northeastern Mathematics Journal. — 2005. — Т. 21, вып. 1. — С. 70–80.
  • John Maharry A characterization of graphs with no cube minor // Journal of Combinatorial Theory. — 2000. — Т. 80, вып. 2. — С. 179–201. — DOI:10.1006/jctb.2000.1968.
  • John P. McSorley Counting structures in the Möbius ladder // Discrete Mathematics. — 1998. — Т. 184, вып. 1–3. — С. 137–164. — DOI:10.1016/S0012-365X(97)00086-1.
  • Anna De Mier, Marc Noy On graphs determined by their Tutte polynomials // Graphs and Combinatorics. — 2004. — Т. 20, вып. 1. — С. 105–119. — DOI:10.1007/s00373-003-0534-z.
  • Frédéric Mila, C. A. Stafford, Sylvain Capponi Persistent currents in a Möbius ladder: A test of interchain coherence of interacting electrons // Physical Review B. — 1998. — Т. 57, вып. 3. — С. 1457–1460. — DOI:10.1103/PhysRevB.57.1457.
  • Alantha Newman, Santosh Vempala. Integer Programming and Combinatorial Optimization: 8th International IPCO Conference, Utrecht, The Netherlands, June 13–15, 2001, Proceedings. — Berlin: Springer-Verlag, 2001. — Т. 2081. — С. 333–347. — (Lecture Notes in Computer Science). — DOI:10.1007/3-540-45535-3_26.
  • Jonathan Simon. New scientific applications of geometry and topology (Baltimore, MD, 1992). — Providence, RI: American Mathematical Society, 1992. — Т. 45. — С. 97–130. — (Proceedings of Symposia in Applied Mathematics).
  • L. Valdes. Proceedings of the Twenty-second Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing (Baton Rouge, LA, 1991). — 1991. — Т. 85. — С. 143–160. — (Congressus Numerantium).
  • K. Wagner Über eine Eigenschaft der ebenen Komplexe // Mathematische Annalen. — 1937. — Т. 114. — С. 570–590. — DOI:10.1007/BF01594196.
  • D. Walba, R. Richards, R. C. Haltiwanger Total synthesis of the first molecular Möbius strip // Journal of the American Chemical Society. — 1982. — Т. 104, вып. 11. — С. 3219–3221. — DOI:10.1021/ja00375a051.

Ссылки

tm.ru.net

Лестница Мебиуса - 21 Февраля 2018 - Дневник сновидений

70 ОС (6) от 19 мая 2012 Поначалу было несколько неосознанных снов, где вокруг изменялась местность. В одно из таких изменений я и осознался. Про план вправду забыл, и стал действовать по сюжету. 

Я был на горе и видел сверху свой посёлок. Рядом появились друзья. Один друг хотел столкнуть другого с горы, не вышло. Потом появились ступеньки. Друзья стали спускаться по ним. Я же зашёл лифт. Тут возникла мысль: "Какие ступеньки, какой лифт - я же на вершине горы был!" 

Решил поехать вниз, чтобы встретить друзей. Нажал на 1. Кнопка была круглая, а не прямоугольная как в "наших" лифтах. Доехал до 1 этажа, вышел. Друзей внизу не было, видно ещё спускались сверху. На самой площадке то же никого не было. Посмотрел наверх, увидел женщину. Тут я почувствовал, что рядом со мной кто то есть. Обернулся, рядом беременная девушка. Ничего ей говорить не стал, хотя и в первый раз вижу как спрайты появляются. Посмотрел снова наверх. Вижу спускается один друг. Тут я услышал голос другого друга. Тот который спускался молчал. Голос сказал, что меня уважает , на что я ответил, что тоже его уважаю и почему то назвал полным именем. Я решил второго друга спустить на первый этаж, так как сам он никак спуститься не мог - Лестница Мебиуса, до первого этажа она не доходила. Я встал на перила, чтобы спустить друга вниз. Друг же при ближайшем рассмотрении, оказался незнакомой девчонкой лет 12 наверное. Но всё равно решил её спустить вниз. Я потянулся рукой, и каким то образом стал её спускать. Сама она уменьшалась в размерах. Так что когда я её спустил на первый этаж, от неё уже ничего не осталось. Как бы растаяла в воздухе. 

Захотелось выйти на улицу. Подъездная дверь была закрыта. Но рядом с дверью был проём в стене. Он выходил на улицу. Я подумал: "Зачем открывать дверь, когда и так можно выйти". Взял и вышел без проблем. На улице я узнал местность, оказывается я вышел из одной девятиэтажки. Так же как и в реале была ночь. Пошёл в сторону школы. Путь мне перегородил шлагбаум (в реале он так же имеется). Я решил пробежать сквозь него. Тут возникла небольшая странность - я как бы раздвоился. Один Я перепрыгнул шлагбаум, и с воздуха наблюдал, как второй Я пробегает сквозь него. Далее мы соединились. В школу я заходить не стал, побежал дальше в сторону дома. При выходе с территории школы, увидел в воздухе висящий балкон. Пробежал мимо него, при этом попробовал задеть рукой. Рука прошла сквозь, хотя может и нет. Так как балкон отодвинулся с дороги. Далее мне понадобилось закрепиться. Сорвал на бегу лист с тополя. Тактильные ощущения были нормальными. Но кроме листа, я зачем то другой рукой дотрагивался до столбов. 

Таким образом я добрался до своего двора. На дворе увидел бывшую одноклассницу. Она о чём то разговаривала с парнем, с которым я в реале раньше не очень ладил. Пробежал мимо них до своего подъезда. Хотел вытащить ключи от домофона, чтобы открыть дверь. Но решил дёрнуть так. Получилось - дверь открылась. В подъезде на всех этажах горел свет. Сами же этажи не соответствовали реалу. Не было промежуточных площадок, только те на которых квартиры есть. Я решил считать этажи: 1,2,3,4,5,6,7 При условии что дом 5 этажный и я живу на 4-м. Думаю я просто не сумел остановиться во счёте. В самом подъезде я видел на стене странные надписи. Так же не обращал на них внимание. Моя цель была добраться до квартиры. Получилось. В самой квартире были странные двери. Точнее две сразу, причём одна дверь проходила сквозь другую. Бабушка сидящая в коридоре сказала мне, чтобы я закрыл обе двери. Одна из них против грозы, а другая против тумана. Против грозы я закрыть успел. Против тумана не вышло - проснулся. Просыпаюсь на улице туман стоит.  

Выводы: 1)Осознался из-за изменения декорации 2)Впервые вижу как появляется спрайт. 3)Эффект лестницы Мебиуса потрясает, с помощью него можно осознаться спокойно. 4)Перенести спрайта через лестницу Мебиуса невозможно - раствориться в процессе переноса. 5)Глюки в сновиденной программе - висящий в воздухе балкон.6)Раздвоение сновиденного тела, у кого нибудь встречалось? Второе тело которое пробегало сквозь шлагбаум я не чувствовал, только видел. Вообще ситуация похожа на позицию наблюдателя, только у наблюдателя то есть меня тело было в воздухе. 7)Не впервый раз во сне появляются надписи. Что они значат интересно. Один плюс - они добавляют осознанность. CoolТак называемая реальная местность всё равно отличалась от реала. Во сне дверь в подъезд была чёрным цветом, в реале зелёным. Да и расстояние до дома я преодолел слишком быстро.

os.moy.su

Лестница Мёбиуса - Howling Pixel

Ле́стница Мёбиуса Mn{\displaystyle M_{n}} — кубический циркулянтный граф с чётным числом вершин n{\displaystyle n}, образованный из цикла с n{\displaystyle n} вершинами путём добавления рёбер (называемых «перекладинами»), соединяющих противоположные пары вершин цикла. Назван так ввиду того, что Mn{\displaystyle M_{n}}, за исключением M6{\displaystyle M_{6}} (K3,3{\displaystyle K_{3,3}}) имеет в точности n/2{\displaystyle n/2} циклов длины 4[1], соединённых вместе общими рёбрами и образующих топологически ленту Мёбиуса.

Впервые изучены Гаем и Харари[2].

Свойства

Любая лестница Мёбиуса является непланарным вершинным графом. Число скрещиваний лестницы Мёбиуса равно единице, и граф может быть вложен без самопересечений в тор или проективную плоскость (то есть является тороидальным графом). Ли[3] изучил вложение этих графов в поверхности более высоких родов.

Лестницы Мёбиуса являются вершинно-транзитивными, но (за исключением M6{\displaystyle M_{6}}) не рёберно-транзитивными — каждое ребро цикла, из которого лестница образована, принадлежит единственному 4-рёберному циклу, в то время как каждая перекладина принадлежит двум таким циклам.

Если n≡2(mod4){\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}, то Mn{\displaystyle M_{n}} является двудольным. При n≡2(mod0){\displaystyle n\equiv 2{\pmod {0}}} по теореме Брукса хроматическое число Mn{\displaystyle M_{n}} равно 3. Известно[4], что лестница Мёбиуса однозначно определяется её многочленом Тутте.

Лестница Мёбиуса M8{\displaystyle M_{8}} имеет 392 остовных дерева. Этот граф и M6{\displaystyle M_{6}} имеют наибольшее число остовных деревьев среди кубических графов с тем же числом вершин[5][6]. Однако среди кубических графов с 10 вершинами наибольшее число остовных деревьев у графа Петерсена, который не является лестницей Мёбиуса.

Многочлены Тутте лестниц Мёбиуса можно получить по простой рекуррентной формуле[7].

Миноры графа

Лестницы Мёбиуса играют важную роль в теории миноров графа. Самым ранним результатом такого типа является теорема Вагнера[8] о том, что граф, не содержащий K5{\displaystyle K_{5}}-миноров, может быть образован с использованием сумм по клике для комбинирования планарных графов и лестницы Мёбиуса M8{\displaystyle M_{8}} (в этой связи Mn{\displaystyle M_{n}} называют графом Вагнера.

Все 3-связные почти-планарные графы[9] являются лестницами Мёбиуса или принадлежат небольшому числу других семейств, притом остальные почти-планарные графы можно получить из этих графов с помощью ряда простых операций[10].

Почти все[уточнить] графы, не содержащие куб в качестве минора, могут быть получены из лестниц Мёбиуса в результате последовательного применения простых операций[11].

Химия и физика

В 1982 году синтезирована молекулярная структура, имеющую форму лестницы Мёбиуса[12], и с тех пор такие графы представляют интерес для химиков и химической стереографии[13], особенно в свете похожих на лестницу Мёбиуса молекул ДНК. Имея это в виду, особо изучены математические симметрии вложений лестниц Мёбиуса в R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}[14].

Лестницы Мёбиуса используются как модель сверхпроводимого кольца в экспериментах по изучению эффектов топологии проводимости при взаимодействии электронов[15][16].

Комбинаторная оптимизация

Лестницы Мёбиуса используются также в информатике как часть подхода целочисленного программирования к задачам упаковки множеств и линейного упорядочивания. Некоторые конфигурации в этих задачах могут быть использованы для определения граней политопов, описывающих ослабление условий линейного программирования. Эти грани называются ограничениями лестниц Мёбиуса[17][18][19][20].

См. также

Примечания

  1. ↑ Максорли, 1998.
  2. ↑ Гай, Харари, 1967.
  3. ↑ Ли, 2005.
  4. ↑ Де Мье, Нуа, 2004.
  5. ↑ Якобсон, Ривин, 1999.
  6. ↑ Valdes, 1991.
  7. ↑ Бигс, Дэймрелл, Сэндс, 1972.
  8. ↑ Вагнер, 1937.
  9. ↑ Почти-планарный граф — непланарный граф, у которого любой нетривиальный минор планарен
  10. ↑ Gubser, 1996.
  11. ↑ Махарри, 2000.
  12. ↑ Вальба, Ричардс, Хальтивангер, 1982.
  13. ↑ Саймон, 1992.
  14. ↑ Флапан, 1989.
  15. ↑ Мила, Стаффорд, Каппони, 1998.
  16. ↑ Дэн, Сюй, Лю, 2002.
  17. ↑ Болоташвили, Ковалёв, Гирлич, 1999.
  18. ↑ Борндёрфер, Вайсмантель, 2000.
  19. ↑ Грётшель, Юнгер, Райнельт, 1985.
  20. ↑ Ньюмэн, Вемпала, 2001.

Литература

  • N. L. Biggs, R. M. Damerell, D. A. Sands Recursive families of graphs // Journal of Combinatorial Theory. — 1972. — Т. 12. — С. 123–131. — DOI:10.1016/0095-8956(72)90016-0.
  • G. Bolotashvili, M. Kovalev, E. Girlich New facets of the linear ordering polytope // SIAM Journal on Discrete Mathematics. — 1999. — Т. 12, вып. 3. — С. 326–336. — DOI:10.1137/S0895480196300145.
  • Ralf Borndörfer, Robert Weismantel Set packing relaxations of some integer programs // Mathematical Programming. — 2000. — Т. 88, вып. 3. — С. 425–450. — DOI:10.1007/PL00011381.
  • Wen-Ji Deng, Ji-Huan Xu, Ping Liu Period halving of persistent currents in mesoscopic Möbius ladders // Chinese Physics Letters. — 2002. — Т. 19, вып. 7. — С. 988–991. — DOI:10.1088/0256-307X/19/7/333. — arXiv:cond-mat/0209421.
  • Erica Flapan Symmetries of Möbius ladders // Mathematische Annalen. — 1989. — Т. 283, вып. 2. — С. 271–283. — DOI:10.1007/BF01446435.
  • M. Grötschel, M. Jünger, G. Reinelt On the acyclic subgraph polytope // Mathematical Programming. — 1985. — Т. 33. — С. 28–42. — DOI:10.1007/BF01582009.
  • M. Grötschel, M. Jünger, G. Reinelt Facets of the linear ordering polytope // Mathematical Programming. — 1985. — Т. 33. — С. 43–60. — DOI:10.1007/BF01582010.
  • Bradley S. Gubser A characterization of almost-planar graphs // Combinatorics, Probability and Computing. — 1996. — Т. 5, вып. 3. — С. 227–245. — DOI:10.1017/S0963548300002005.
  • Richard K. Guy, Frank Harary On the Möbius ladders // Canadian Mathematical Bulletin. — 1967. — Т. 10. — С. 493–496. — DOI:10.4153/CMB-1967-046-4.
  • Dmitry Jakobson, Igor Rivin On some extremal problems in graph theory. — 1999. — arXiv:math.CO/9907050.
  • De-ming Li Genus distributions of Möbius ladders // Northeastern Mathematics Journal. — 2005. — Т. 21, вып. 1. — С. 70–80.
  • John Maharry A characterization of graphs with no cube minor // Journal of Combinatorial Theory. — 2000. — Т. 80, вып. 2. — С. 179–201. — DOI:10.1006/jctb.2000.1968.
  • John P. McSorley Counting structures in the Möbius ladder // Discrete Mathematics. — 1998. — Т. 184, вып. 1–3. — С. 137–164. — DOI:10.1016/S0012-365X(97)00086-1.
  • Anna De Mier, Marc Noy On graphs determined by their Tutte polynomials // Graphs and Combinatorics. — 2004. — Т. 20, вып. 1. — С. 105–119. — DOI:10.1007/s00373-003-0534-z.
  • Frédéric Mila, C. A. Stafford, Sylvain Capponi Persistent currents in a Möbius ladder: A test of interchain coherence of interacting electrons // Physical Review B. — 1998. — Т. 57, вып. 3. — С. 1457–1460. — DOI:10.1103/PhysRevB.57.1457.
  • Alantha Newman, Santosh Vempala. Integer Programming and Combinatorial Optimization: 8th International IPCO Conference, Utrecht, The Netherlands, June 13–15, 2001, Proceedings. — Berlin: Springer-Verlag, 2001. — Т. 2081. — С. 333–347. — (Lecture Notes in Computer Science). — DOI:10.1007/3-540-45535-3_26.
  • Jonathan Simon. New scientific applications of geometry and topology (Baltimore, MD, 1992). — Providence, RI: American Mathematical Society, 1992. — Т. 45. — С. 97–130. — (Proceedings of Symposia in Applied Mathematics).
  • L. Valdes. Proceedings of the Twenty-second Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing (Baton Rouge, LA, 1991). — 1991. — Т. 85. — С. 143–160. — (Congressus Numerantium).
  • K. Wagner Über eine Eigenschaft der ebenen Komplexe // Mathematische Annalen. — 1937. — Т. 114. — С. 570–590. — DOI:10.1007/BF01594196.
  • D. Walba, R. Richards, R. C. Haltiwanger Total synthesis of the first molecular Möbius strip // Journal of the American Chemical Society. — 1982. — Т. 104, вып. 11. — С. 3219–3221. — DOI:10.1021/ja00375a051.

Ссылки

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here). Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply. Images, videos and audio are available under their respective licenses.

howlingpixel.com


Смотрите также